ম্যাট্রিক্সের নির্ণায়ক নির্ণয়ের জন্য অনুরাশি (Minor) ও সহগুণক (Cofactor) গুরুত্বপূর্ণ ভূমিকা পালন করে। অনুরাশি ও সহগুণক ম্যাট্রিক্সের উপাদানগুলোর উপর ভিত্তি করে নির্ণায়ক নির্ণয়ে ব্যবহৃত হয়।
নিচে অনুরাশি ও সহগুণকের সংজ্ঞা এবং তাদের ব্যবহারের পদ্ধতি বর্ণনা করা হলো:
কোনো \(n \times n\) ম্যাট্রিক্সের একটি নির্দিষ্ট উপাদানের অনুরাশি বলতে বোঝায় ওই উপাদানটি বাদ দিলে বাকি উপাদানগুলো দিয়ে গঠিত \( (n-1) \times (n-1) \) আকারের ম্যাট্রিক্সের নির্ণায়ক।
উদাহরণস্বরূপ, ধরা যাক একটি \(3 \times 3\) ম্যাট্রিক্স \(A\) রয়েছে:
\[
A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{pmatrix}
\]
এখন, \(a_{11}\) এর অনুরাশি বের করতে হলে প্রথম সারি ও প্রথম কলাম বাদ দিয়ে \( (n-1) \times (n-1) \) ম্যাট্রিক্সটি নিতে হবে, অর্থাৎ:
\[
\text{Minor of } a_{11} = M_{11} = \begin{vmatrix} a_{22} & a_{23} \\ a_{32} & a_{33} \end{vmatrix}
\]
এভাবে প্রতিটি উপাদানের জন্য তার অনুরাশি নির্ণয় করা যায়।
সহগুণক হলো কোনো নির্দিষ্ট উপাদানের অনুরাশির সাথে একটি চিহ্ন সংযুক্ত মান। একটি \(a_{ij}\) উপাদানের সহগুণক \(C_{ij}\) নির্ণয় করা হয় এভাবে:
\[
C_{ij} = (-1)^{i+j} \cdot M_{ij}
\]
এখানে \(M_{ij}\) হলো \(a_{ij}\) উপাদানের অনুরাশি এবং \((-1)^{i+j}\) চিহ্ন নির্ধারণ করে। যদি \(i + j\) জোড় সংখ্যা হয় তবে এটি ধনাত্মক থাকে, আর যদি বিজোড় সংখ্যা হয় তবে এটি ঋণাত্মক হয়।
উদাহরণস্বরূপ, যদি \(a_{11}\)-এর অনুরাশি \(M_{11}\) হয়, তবে সহগুণক \(C_{11}\) হবে:
\[
C_{11} = (-1)^{1+1} \cdot M_{11} = 1 \cdot M_{11} = M_{11}
\]
আর \(a_{12}\)-এর জন্য,
\[
C_{12} = (-1)^{1+2} \cdot M_{12} = -M_{12}
\]
ধরা যাক, একটি \(3 \times 3\) ম্যাট্রিক্স \(A\) রয়েছে:
\[
A = \begin{pmatrix} 2 & 3 & 1 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{pmatrix}
\]
আমরা \(a_{11}\), \(a_{12}\), এবং \(a_{13}\)-এর জন্য অনুরাশি ও সহগুণক নির্ণয় করব।
একটি \(3 \times 3\) ম্যাট্রিক্সের নির্ণায়ক বের করতে হলে প্রথম সারির উপাদানগুলো এবং তাদের সহগুণক ব্যবহার করা হয়:
\[
|A| = a_{11} \cdot C_{11} + a_{12} \cdot C_{12} + a_{13} \cdot C_{13}
\]
উপরের উদাহরণ অনুযায়ী,
\[
|A| = 2 \cdot (-3) + 3 \cdot 6 + 1 \cdot (-3)
\]
\[
= -6 + 18 - 3 = 9
\]
এভাবেই অনুরাশি ও সহগুণক ব্যবহার করে ম্যাট্রিক্সের নির্ণায়ক নির্ণয় করা যায়।
Read more
or
Lorem ipsum dolor, sit amet consectetur adipisicing elit. Ducimus nihil, quo, quis minus aspernatur expedita, incidunt facilis aliquid inventore voluptate dolores accusantium laborum labore a dolorum dolore omnis qui? Consequuntur sed facilis repellendus corrupti amet in quibusdam ducimus illo autem, a praesentium.
1 hour ago
Lorem ipsum dolor, sit amet consectetur adipisicing elit. Ducimus nihil, quo, quis minus aspernatur expedita, incidunt facilis aliquid inventore voluptate dolores accusantium laborum labore a dolorum dolore omnis qui? Consequuntur sed facilis repellendus corrupti amet in quibusdam ducimus illo autem, a praesentium.
1 hour ago
Lorem ipsum dolor, sit amet consectetur adipisicing elit. Ducimus nihil, quo, quis minus aspernatur expedita, incidunt facilis aliquid inventore voluptate dolores accusantium laborum labore a dolorum dolore omnis qui? Consequuntur sed facilis repellendus corrupti amet in quibusdam ducimus illo autem, a praesentium.
1 hour ago
Lorem ipsum dolor, sit amet consectetur adipisicing elit. Ducimus nihil, quo, quis minus aspernatur expedita, incidunt facilis aliquid inventore voluptate dolores accusantium laborum labore a dolorum dolore omnis qui? Consequuntur sed facilis repellendus corrupti amet in quibusdam ducimus illo autem, a praesentium.
1 hour ago
Lorem ipsum dolor, sit amet consectetur adipisicing elit. Ducimus nihil, quo, quis minus aspernatur expedita, incidunt facilis aliquid inventore voluptate dolores accusantium laborum labore a dolorum dolore omnis qui? Consequuntur sed facilis repellendus corrupti amet in quibusdam ducimus illo autem, a praesentium.
1 hour ago
Lorem ipsum dolor, sit amet consectetur adipisicing elit. Ducimus nihil, quo, quis minus aspernatur expedita, incidunt facilis aliquid inventore voluptate dolores accusantium laborum labore a dolorum dolore omnis qui? Consequuntur sed facilis repellendus corrupti amet in quibusdam ducimus illo autem, a praesentium.
1 hour ago
Lorem ipsum dolor, sit amet consectetur adipisicing elit. Ducimus nihil, quo, quis minus aspernatur expedita, incidunt facilis aliquid inventore voluptate dolores accusantium laborum labore a dolorum dolore omnis qui? Consequuntur sed facilis repellendus corrupti amet in quibusdam ducimus illo autem, a praesentium.
1 hour ago
Lorem ipsum dolor, sit amet consectetur adipisicing elit. Ducimus nihil, quo, quis minus aspernatur expedita, incidunt facilis aliquid inventore voluptate dolores accusantium laborum labore a dolorum dolore omnis qui? Consequuntur sed facilis repellendus corrupti amet in quibusdam ducimus illo autem, a praesentium.
1 hour ago
Lorem ipsum dolor, sit amet consectetur adipisicing elit. Ducimus nihil, quo, quis minus aspernatur expedita, incidunt facilis aliquid inventore voluptate dolores accusantium laborum labore a dolorum dolore omnis qui? Consequuntur sed facilis repellendus corrupti amet in quibusdam ducimus illo autem, a praesentium.
1 hour ago
Lorem ipsum dolor, sit amet consectetur adipisicing elit. Ducimus nihil, quo, quis minus aspernatur expedita, incidunt facilis aliquid inventore voluptate dolores accusantium laborum labore a dolorum dolore omnis qui? Consequuntur sed facilis repellendus corrupti amet in quibusdam ducimus illo autem, a praesentium.
1 hour ago
